Question

已知等比數列{a_n}的公比為q，前n項的和為S_n，且S₃，S₉，S₆成等差數列．
（1）求q³的值；
（2）求證：a₂，a₈，a₅成等差數列．

Answer 1

分析：（1）由S₃，S₉，S₆成等差數列，得S₃+S₆=2S₉，然后考慮當q=1時關系式不成立，所以當q不等于1時，利用等比數列的前n項和的公式化簡此等式，根據q不等于1，利用換元法即可求出q³的值；
（2）由q³的值分別表示出a₈和a₅，然后分別求出a₈-a₂和a₅-a₈的值，得到兩者的值相等即可得證．

解答：解：（1）由S₃，S₉，S₆成等差數列，得S₃+S₆=2S₉，
若q=1，則S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁，
由a₁≠0得S₃+S₆≠2S₉，與題意不符，所以q≠1．
由S₃+S₆=2S₉，得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q9)

1-q

．
整理，得q³+q⁶=2q⁹，由q≠0，1，
設t=q³，則2t²-t-1=0，解得t=1（舍去）或t=-

1

2

，
所以q3=-

1

2

；
（2）由（1）知：a8=a2×q6=

1

4

a2，a5=a2×q3=-

1

2

a2
則a₈-a₂=a₅-a₈，
所以a₂，a₈，a₅成等差數列．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質化簡求值，靈活運用等比數列的前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．