Question

（2010•陜西一模）設{a_n}是等差數列，{b_n}是各項都為正數的等比數列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列{

an

bn

}的前n項和為S_n，證明：S_n＜6．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，然后根據條件建立方程組，解之即可求出d與q，從而求出{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據數列{

an

bn

}的通項公式的形式可知利用錯位相消法進行求和即可求出S_n=6-

2n+3

2n-1

，可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，--------（1分）
則依題意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．-------（4分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．-----------（6分）
（Ⅱ）

an

bn

=

2n-1

2n-1

．
Sn=1+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①
2Sn=2+3+

5

2

+…+

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
由②-①得：Sn=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．-----------（10分）
∵

2n+3

2n-1

＞0，
∴S_n＜6．-----------（12分）

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的通項公式，以及利用錯位相消法求數列的和，同時考查了不等式的證明，屬于中檔題．