Question

如圖，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為等腰梯形，且AB∥CD，棱AA₁，BB₁，CC_l，DD_l垂直于面ABCD，AB=4，CD=2，CC₁=DD_l=2，BBl=AA_l=4，E為AB的中點．
（1）求證：C_IE∥面AA₁D_lD；
（2）當BC=2時，求證：面C₁EC⊥面B_lBDD_l；
（3）在第（2）條件下，求面ABCD與面A₁B₁C₁D₁所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接AD₁，由C₁C⊥面ABCD，知D₁D⊥面ABCD，所以C₁C∥D₁D，由C₁C=D₁D=2，知四邊形C₁D₁AE為平行四邊形，由此能證明EC₁∥面AA₁D₁D．
（2）連接ED，則四邊形EBCD為平行四邊形，當BC=2時，BC=BE，平行四邊形EBCD為菱形，所以EC⊥BD，由B₁B⊥面ABCD，B₁B⊥EC，能證明面C₁EC⊥面B_lBDD_l．
（3）延長BC，B₁C₁，交于點P，則

PC

PB

=

C1C

B1C

=

2

4

，故PC=2，延長AD交BC于點P′．同理，

P′C

PB

=

CD

AD

=

2

4

，故P′C=

1

2

PB，故點P與點P‘重合，BC，B₁C₁，AD延長線交于一點P，同理，BC，B₁C₁，A₁D₁，AD延長線相交于同一點P，由此入手能夠求出tan∠EPF的值．

解答：（1）證明：連接AD₁，
∵C₁C⊥面ABCD，D₁D⊥面ABCD，
∴C₁C∥D₁D，
∵C₁C=D₁D=2，
∴四邊形C₁D₁AE為平行四邊形，
∴EC₁∥AD₁，
∵EC₁?面AA₁D₁D，AD₁?面AA₁D₁D，
∴EC₁∥面AA₁D₁D．
（2）連接ED，則四邊形EBCD為平行四邊形，
當BC=2時，BC=BE，
平行四邊形EBCD為菱形，
∴EC⊥BD，
∵B₁B⊥面ABCD，B₁B⊥EC，又B₁B∩BD=B，
∴EC⊥面B₁BDD₁，
∴面C₁EC⊥面B_lBDD_l．
（3）延長BC，B₁C₁，交于點P，則

PC

PB

=

C1C

B1C

=

2

4

，
∴PC=

1

2

PB，∵BC=2，∴PC=2，
延長AD交BC于點P′．
同理，

P′C

PB

=

CD

AD

=

2

4

，
∴P′C=

1

2

PB，
∴點P與點P‘重合，
∴BC，B₁C₁，AD延長線交于一點P，
同理，BC，B₁C₁，A₁D₁，AD延長線相交于同一點P，
過點P作直線l∥CD，則l為面ABCD和面A₁B₁C₁D₁的交線，
取A₁B₁中點F，連接EF，EP，FP，
∴PB=PA=4，
E為AB中點，
∴PE⊥AB，∴PE⊥l，
同理，PF⊥l，∠EPF為二面角A-l-A₁的平面角，
在Rt△PEF中，PE=

3

2

AB=

3

，
EF=BB₁=4，
∴tan∠EPF=

EF

PE

=

4

2 3

=

2 3

3

．

點評：本題考查二面角的平面角及其求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．