Question

當雙曲線C不是等軸雙曲線時，我們把以C的實軸、虛軸的端點作為頂點的橢圓稱為雙曲線C的“伴生橢圓”．則離心率為

3

的雙曲線的“伴生橢圓”的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

分析：不妨設雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則其“伴生橢圓”的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．由于

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，解得

b2

a2

=2．可得其“伴生橢圓”的離心率e=

1- a2 b2

．

解答：解：不妨設雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則其“伴生橢圓”的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
∵

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，解得

b2

a2

=2．
∴其“伴生橢圓”的離心率e=

1- a2 b2

=

2

2

．
故選：B．

點評：本題考查了雙曲線與橢圓的標準方程及其性質、新定義“伴生橢圓”的意義，屬于基礎題．