Question

設a∈R，二次函數f（x）=ax²-2x-2a．若f（x）＞0的解集為A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：解：注意到△=4+8a²＞0，則函數有兩個零點，由a的正負，確定不等式解集的形式．結合著數軸分類討論．

解答：解：由題意可知二次函數a≠0，
令f（x）=0解得其兩根為x1=

1

a

-

2+ 1 a2

，x2=

1

a

+

2+ 1 a2

由此可知x₁＜0，x₂＞0
（i）當a＞0時，A={x|x＜x₁}∪{x|x＞x₂}，則A∩B≠?的充要條件是x₂＜3，
即

1

a

+

2+ 1 a2

＜3解得a＞

6

7

（ii）當a＜0時，A={x|x₁＜x＜x₂}A∩B≠?的充要條件是x₂＞1，
即

1

a

+

2+ 1 a2

＞1
解得a＜-2
綜上，使A∩B=?成立的a的取值范圍為(-∞，-2)∪(

6

7

，+∞)

點評：在對集合的相關問題進行求解時，分類討論時經常考查到的思想方法，另外對于一元二次不等式的解法也是一個基本的知識點，要熟練掌握．