Question

設O為復平面的原點，Z₁和Z₂為復平面內的兩動點，并且滿足：
（1）Z₁和Z₂所對應的復數的輻角分別為定值θ和-θ；
（2）△OZ₁Z₂的面積為定值S求△OZ₁Z₂的重心Z所對應的復數的模的最小值．

Answer 1

解：設Z₁，Z₂和Z對應的復數分別為z₁，z₂和z，其中
z₁=r₁（coθ+isinθ），
z₂=r₂（coθ-isinθ）．
由于Z是△OZ₁Z₂的重心，根據復數加法的幾何意義，
則有3z=z₁+z₂=（r₁+r₂）cosθ+（r₁-r₂）isinθ．
于是|3z|²=（r₁+r₂）²cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²cos²θ+4r₁r₂cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²+4r₁r₂cos²θ
又知△OZ₁Z₂的面積為定值S及，
所以，即
由此，
故當r₁=r₂=時，|z|最小，且|z|最小值=．
分析：設出Z₁，Z₂和Z對應的復數分別為z₁，z₂和z，由于Z是△OZ₁Z₂的重心，表示其關系，求解即可．
點評：本題考查復數的基本概念，復數求模，是中檔題．