Question

已知拋物線C的頂點是橢圓的中心，且焦點與該橢圓右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P（a，0）為x軸上一動點，過P點作直線交拋物線C于A、B兩點．
（ⅰ）設S_△AOB=t•tan∠AOB，試問：當a為何值時，t取得最小值，并求此最小值．
（ⅱ）若a=-1，點A關于x軸的對稱點為D，證明：直線BD過定點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，設拋物線C的標準方程為y²=2px（x＞0），焦點F（，0），由橢圓的右焦點為（1，0），知p=2，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）（ⅰ）設直線AB：my=x-a．聯立，得=0，由此能推導出當a=2時，t有最小值一2．
（ⅱ）由（ⅰ）知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，直線BD的方程為，由此能導出直線BD過定點（1，0）．
解答：解：（Ⅰ）由題意，設拋物線C的標準方程為y²=2px（x＞0），焦點F（，0），
∵橢圓的右焦點為（1，0），
∴，即p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x，…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）設直線AB：my=x-a．
聯立，消x得=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4a，，…（6分）
由S_△AOB=
=，
∴，
∵，…（8分）
∴，
∴當a=2時，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
直線BD的方程為y-y₂=，
即
y=
∴y=，
∴直線BD過定點（1，0）．…（14分）
點評：本題考查拋物線方程的求法，考查最小值的求法，考查直線過定點的判斷，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．