Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₃=10，a₆=22，數列{b_n}的前n項和是T_n，且Tn+

1

3

bn=1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅲ）記c_n=a_n•b_n，求證：c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差數列的通項公式，結合a₃=10，a₆=22，建立方程組，求得首項與公差，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（II）Tn=1-

1

3

bn，當n≥2時，Tn-1=1-

1

3

bn-1，兩式相減，即可證得數列{b_n}是以

3

4

為首項，

1

4

為公比的等比數列；
（III）cn=an•bn=

3(4n-2)

4n

，再寫一式，作差，即可得到結論．

解答：（I）解：∵數列{a_n}是等差數列，a₃=10，a₆=22，
∴

a1+2d=10 a1+5d=22.

解得 a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．…（4分）
（II）證明：由于Tn=1-

1

3

bn，①
令n=1，得b1=1-

1

3

b1，解得b1=

3

4

當n≥2時，Tn-1=1-

1

3

bn-1②
①-②得bn=

1

3

bn-1-

1

3

bn，
∴bn=

1

4

bn-1
又b1=

3

4

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

4

．
∴數列{b_n}是以

3

4

為首項，

1

4

為公比的等比數列．…（9分）
（III）證明：由（II）可得bn=

3

4n

．…（9分）   
∴cn=an•bn=

3(4n-2)

4n

…（10分）
∴cn+1-cn=

3[4(n+1)-2]

4n+1

-

3(4n-2)

4n

=

30-36n

4n+1

．
∵n≥1，故c_n+1-c_n＜0，
∴c_n+1＜c_n．…（13分）

點評：本題考查等差數列的通項，等比數列的證明，考查大小比較，解題的關鍵是掌握解決數列問題的基本方法．