Question

如圖是一個正方體的表面展開圖的示意圖，MN和PQ是兩條面的對角線，請在正方體中將MN和PQ畫出來，并就這個正方體解答下列問題．
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面體M-NPQ的體積與正方體的體積之比．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，連接BQ、PB，則MN∥BQ，所以∠PQB即為異面直線MN與PQ所成的角，進而在正△PBQ中求即可．
（2）利用V_{三棱錐M-NPQ}=V_{三棱錐Q-MNP}，可求出四面體M-NPQ的體積，進而求出答案．

解答：解：（1）如圖所示，連接BQ、PB，則MN∥BQ，∴∠PQB即為異面直線MN與PQ所成的角．
又由正方體可知：△PBQ為正三角形，∴∠PQB=60°，
∴異面直線MN與PQ所成的角為60°．
（2）設此正方體的棱長為1，則V_正方體QN=1，V_{三棱錐Q-MNP}=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，
又∵V_{三棱錐M-NPQ}=V_{三棱錐Q-MNP}，
∴

V三棱錐M-NPQ

V正方體NQ

=

1 6

1

=

1

6

．

點評：本題考查了正方體中的異面直線所成的角和三棱錐的體積，恰當的轉化是解決問題的關鍵．