Question

已知下列命題四個命題：
①函數y=sin(

π

4

-2x)的單調遞增區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②若x是第一象限的角，則y=sinx是增函數；
③α，β∈(0，

π

2

)，且cosα＜sinβ，則α+β＞

π

2

；
④若sinx+siny=

1

3

，則siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中真命題的個數有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①先利用誘導公式將函數變形，再利用復合函數單調區間的求法，通過解不等式得其單調增區間；②ysinx在（2kπ，2kπ+

π

2

）上為增函數不同于在第一象限是增函數，注意區別；③先利用誘導公式將三角不等式兩邊化為同名函數且將角化到同一單調區間上，即可利用單調性得角的關系；④先將所求三角式化為關于sinx的二次函數，再求sinx的取值范圍，進而利用二次函數的圖象求函數的最大值即可

解答：解：①函數y=sin(

π

4

-2x)=-sin（2x-

π

4

），由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，得x∈[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，故函數y=sin(

π

4

-2x)的單調遞增區間是[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，①錯誤；
②

π

3

＜2π+

π

6

，且均為第一象限角，但sin

π

3

＞sin（2π+

π

6

），故②錯誤；
③cosα＜sinβ，即sin（

π

2

-α）＜sinβ，∵α，β∈(0，

π

2

)，∴

π

2

-α∈(0，

π

2

)，y=sinx在(0，

π

2

)上單調遞增，∴

π

2

-α＜β，即α+β＞

π

2

，③正確；
④siny-cos²x=

1

3

-sinx-1+sin²x=sin²x-sinx-

2

3

=（sinx-

1

2

）²-

11

12

，∵-1≤siny=

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，∴當sinx=-

2

3

時，siny-cos²x的最大值是

4

9

，④錯誤
∴真命題只有③
故選 A

點評：本題綜合考查了三角函數的圖象和性質，誘導公式的運用，三角函數求值域的方法，及y=Asin（ωx+φ）型函數單調區間的求法等基礎知識