Question

a=1是直線（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也非必要條件

Answer 1

分析：利用兩條直線垂直與斜率的關系即可判斷出．

解答：解：①當a=1時，兩條直線（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0分別化為：
5x-3y+8=0，3x+5y-7=0，
可得兩條直線的斜率分別為：k1=

5

3

，k2=-

3

5

，則k₁•k₂=-1．
故兩條直線相互垂直．
因此a=1是直線（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的充分條件．
②若兩條直線（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直，
當1-4a=0即a=

1

4

時，兩條直線分別化為11x+32=0，3x-17y+28=0，此時兩條直線不垂直；
同理當a=-4時，兩條直線不垂直；
當a≠

1

4

且a≠-4時，兩條直線的斜率分別為-

3a+2

1-4a

，-

5a-2

a+4

．
由-

3a+2

1-4a

×(-

5a-2

a+4

)=-1，
解得a=0或1．
a=1是直線（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的不必要條件．
綜上可知：a=1是直線（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的充分不必要條件．
故選：A．

點評：本題考查了兩條直線垂直與斜率的關系、充分必要條件，屬于中檔題．