Question

設二次函數f（x）=（k-4）x²+kx（k∈R），對任意實數x，f（x）≤6x+2恒成立；數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的解析式和值域；
（2）試寫出一個區間（a，b），使得當a₁∈（a，b）時，數列{a_n}在這個區間上是遞增數列，并說明理由；
（3）已知，求：log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)．

Answer 1

分析：（1）只需二次項的系數為0，△≤0即可求出k的值，從而確定f（x），進而確定值域．
（2）當a1∈(0，

1

2

)成立，可以證明a_n+1-a_n＞0，本題答案不唯一．
（3）由（2）得出，

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2，設bn=

1

2

-an，得

1

1 2 -an

=

1

bn

=2•32n-1，log3(

1

1 2 -an

)=log3(2•32n-1)=log32+2n-1，進而求出log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)的值．

解答：解：（1）由f（x）≤6x+2恒成立等價于（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，（1分）
從而得：

k-4＜0 (k-6)2+8(k-4)≤0

，化簡得

k＜4 (k-2)2≤0

，從而得k=2，所以f（x）=-2x²+2x，（3分）
其值域為(-∞，

1

2

]．（4分）
（2）解：當a1∈(0，

1

2

)時，數列a_n在這個區間上是遞增數列，證明如下：
設an∈(0，

1

2

)，n≥1，則an+1=f(an)=-2

a

2 n

+2an=-2(an-

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)，所以對一切n∈N^*，均有an∈(0，

1

2

)；（7分）an+1-an=f(an)-an=-2

a

2 n

+2an-an=-2(an-

1

4

)2+

1

8

an∈(0，

1

2

)?-

1

4

＜an-

1

4

＜

1

4

?(an-

1

4

)2＜

1

16

?-2(an-

1

4

)2＞-

1

8

?-2(an-

1

4

)2+

1

8

＞0，
從而得a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n，所以數列a_n在區間(0，

1

2

)上是遞增數列．（10分）
注：本題的區間也可以是[

1

5

，

1

2

)、[

1

4

，

1

2

)、[

1

3

，

1

2

)等無窮多個．
另解：若數列a_n在某個區間上是遞增數列，則a_n+1-a_n＞0
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0?an∈(0，

1

2

)（7分）
又當an∈(0，

1

2

)，n≥1時，an+1=f(an)=-2

a

2 n

+2an=-2(an-

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)，所以對一切n∈N^*，均有an∈(0，

1

2

)且a_n+1-a_n＞0，所以數列a_n在區間(0，

1

2

)上是遞增數列．（10分）
（3）（文科）由（2）知an∈(0，

1

2

)，從而

1

2

-an∈(0，

1

2

)；

1

2

-an+1=

1

2

-(-2

a

2 n

+2an)=2

a

2 n

-2an+

1

2

=2(an-

1

2

)2，即

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2；（12分）
令bn=

1

2

-an，則有b_n+1=2b_n²且bn∈(0，

1

2

)；
從而有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，可得lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），
所以數列lgb_n+lg2是以lgb1+lg2=lg(

1

2

-

1

3

)+lg2=lg

1

3

為首項，公比為2的等比數列，（14分）
從而得lgbn+lg2=lg

1

3

•2n-1=lg(

1

3

)2n-1，即lgbn=lg

( 1 3 )2n-1

2

，所以bn=

( 1 3 )2n-1

2

=

1

2

(

1

3

)2n-1，
所以

1

1 2 -an

=

1

bn

=2•32n-1，所以log3(

1

1 2 -an

)=log3(2•32n-1)=log32+2n-1，（16分）
所以log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…log3(

1

1 2 -an

)，=nlog32+

1-2n

1-2

=2n+nlog32-1．（18分）

點評：本題是數列與函數的綜合題，考查了函數的值域，數列的化簡與求和，是綜合性題目，對基本方法和靈活運用要求比較高，屬于高檔題目．