Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點F為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，M，N在橢圓C上，若四邊形OFMN是菱形，則橢圓C的離心率是

 

．

Answer 1

分析：由題設中的條件及橢圓的對稱性知菱形的邊長為c，N點的橫坐標為

c

2

，代入橢圓的方程可以求得其縱坐標，再利用ON=c建立方程整理即可得到橢圓的離心率

解答：解：由題意知菱形的邊長為c，由橢圓的對稱性知N點的橫坐標為

c

2

，由于ON=c，故

c2

4

+y²=c²，解得點N的縱坐標為

3

2

c，則NF=

( 3 c 2 )2+( c 2 +c)2

=

3

c
又由橢圓的對稱性知點N到右焦點的距離是c，由橢圓的定義知2a=c+

3

c，故得e=

2

1+ 3

=

3

-1
故答案為：

3

-1

點評：本題考查橢圓的簡單性質，解題的關鍵是根據橢圓的圖形的對稱性得出點N的坐標，求出點N到兩個焦點的距離，由橢圓的定義建立方程整理即可求出橢圓的離心率．本題解題方法唯一，利用題設條及橢圓的對稱性判斷出點N的坐標比較抽象，做題時要注意數結合，探究規律．