Question

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

(1)求a2的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.

 

Answer 1

（1）a2＝4.（2）an＝n2(n≥2)，（3）見(jiàn)解析

【解析】(1)【解析】
∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

∴當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝2S1＝a2－－1－＝a2－2.

又a1＝1，∴a2＝4.

(2)【解析】
∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

∴2Sn＝nan＋1－n3－n2－n＝nan＋1－，①

∴當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝(n－1)an－，②

由①－②，得2Sn－2Sn－1＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)．

∵2an＝2Sn－2Sn－1，

∴2an＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)，∴－＝1.

∴數(shù)列是以首項(xiàng)為＝1，公差為1的等差數(shù)列.

∴＝1＋1×(n－1)＝n，∴an＝n2(n≥2)，

當(dāng)n＝1時(shí)，上式顯然成立．∴an＝n2，n∈N*.

(3)證明：由(2)知，an＝n2，n∈N*，

①當(dāng)n＝1時(shí)，＝1<，∴原不等式成立.

②當(dāng)n＝2時(shí)，＝1＋<，∴原不等式亦成立.

③當(dāng)n≥3時(shí)，∵n2>(n－1)·(n＋1)，∴，

∴

<1＋

＝1＋

＝1＋

＝1＋＝，

∴當(dāng)n≥3時(shí)，原不等式亦成立.

綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有.