Question

已知函數f（x）=axlnx圖象上點（e，f（e））處的切線方程與直線y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x²-tx-2．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）求函數f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）對一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據切線方程與直線y=2x平行得到切線的斜率為2，即可得到f'（e）=2，求出函數的導函數把f'（e）=2代入即可求出a的值得到函數的解析式；
（II）令f′（x）=0求出x的值為，由函數定義域x∈（0，+∞），所以在（0，）和（，+∞）上討論函數的增減性，分兩種情況：當屬于[n，n+2]得到函數的最小值為f（）；當≤n≤n+2時，根據函數為單調增得到函數的最小值為f（n），求出值即可；
（III）把g（x）的解析式代入不等式3f（x）≥g（x）中解出，然后令h（x）=，求出h′（x）=0時x的值，然后在定義域（0，+∞）上分區間討論函數的增減性，求出h（x）的最大值，t要大于等于h（x）的最大值即為不等數恒成立，即可求出t的取值范圍．
解答：解：（I）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，
得該切線斜率為2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．

（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，
顯然f'（x）=0時x=e^-1當時f'（x）＜0，
所以函數上單調遞減．
當時f'（x）＞0，
所以函數f（x）在上單調遞增，
①時，；
②時，函數f（x）在[n，n+2]上單調遞增，
因此f（x）_min=f（n）=nlnn；
所以；

（III）對一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
又g（x）=x²-tx-2，
∴3xlnx≥x²-tx-2，
即．
設，
則，
由h'（x）=0得x=1或x=2，
∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）單調遞減，
x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
∴h（x）_極大值=h（1）=-1，且h（e）=e-3-2e^-1＜-1，
所以h（x）_max=h（1）=-1．
因為對一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
∴t≥h（x）_max=-1．
故實數t的取值范圍為[-1，+∞）．
點評：考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，會利用導數求閉區間上函數的最值，掌握不等式恒成立時所取的條件．此題是一道綜合題．