Question

設函數，曲線過點，且在點處的切線斜率為2.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的極值點；

 （Ⅲ）對定義域內任意一個，不等式是否恒成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）只有極大值點，且極大值點為；（Ⅲ）見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵

∴...................1分

∵在點處的切線斜率為2

∴即......................2分

故..............................3分

（Ⅱ）∵（）

得................4分

即

由可得，

當時，...................5分

當時，............................6分

列表可得：

	+	0	—
	↗		↙

 

 

 

 

 

 

 

故只有極大值點，且極大值點為..........................8分

（Ⅲ）令，得（）............9分

∴

即..................10分

由可得，

當時，

當時，.........................11分

列表可得：

	+	0	—
	↗	0	↙

 

 

 

 

 

 

 

由表可知的最大值為

即恒成立

故恒成立.......................12分

考點：導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的最值。

點評：極值點的導數為零，但導數為零的點不一定是極值點。因此在求極值點的時候僅僅由=0得到的點不一定是極值點，而應該加以驗證。