Question

（2008•武漢模擬）已知平面內的四邊形ABCD和該平面內任一點P滿足：

AP2

+

CP2

=

BP2

+

DP2

，那么四邊形ABCD一定是（　　）

A．梯形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

Answer 1

分析：以A為原點，AB為x軸獎勵平面直角坐標系，設出各點坐標，根據

AP2

+

CP2

=

BP2

+

DP2

建立等式關系，即可判定四邊形的形狀．

解答：解：設A（0，0），B（a，0），C（x_c，y_c），D（x_D，y_D），P（x，y）
則

AP

=（x，y），

BP

=(x-a，y)，

CP

=（x-x_C，y-y_c），

DP

=(x-xD，y-yD)
∵

AP2

+

CP2

=

BP2

+

DP2

，
∴x²+y²+（x-x_c）²+（y-y_c）²=（x-a）²+y²+（x-x_D）²+（y-y_D）²
整理得-2x_Cx-2y_Cy+x_C²+y_C²=-2（a+x_D）x-2y_Dy+a²+x_D²+y_D²
對比系數得

xC=a+xD yC=yD x 2 C + y 2 C =a2+ x 2 D + y 2 D

由x_C=x_D+a知|CD|=a，又y_C=y_D，故四邊形ABCD為平行四邊形．
而

x C 2 + y C 2 =a2+ x D 2 + y D 2

，則平行四邊形ABCD為矩形
故選C．

點評：本題主要考查了利用解析法，進行坐標化進行求解，同時考查了向量的模的計算，屬于中檔題．