Question

已知函數f(x)＝ln(x＋1)＋ax.

(1)當x＝0時，函數f(x)取得極大值，求實數a的值；

(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f′(x)≥2x成立，其中f′(x)為f(x)的導函數，求實數a的取值范圍；

(3)求函數f(x)的單調區間.

Answer 1

(1)f′(x)＝＋a

由f′(0)＝0，得a＝－1，此時f′(x)＝－1.

當x∈(－1,0)時，f′(x)>0，

函數f(x)在區間(－1,0)上單調遞增；

當x∈(0，＋∞)時，f′(x)<0，

函數f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減；

∴函數f(x)在x＝0處取得極大值，故a＝－1.

(2)∵f′(x)≥2x，∴＋a≥2x，∴a≥2x－.

令g(x)＝2x－(1≤x≤2)，

∴g′(x)＝2＋>0，

∴g(x)在[1,2]上是增函數，

∴a≥g(1)＝.

(3)∵f′(x)＝＋a.

>0，

∴當a≥0時，f′(x)>0，函數f(x)在(－1，＋∞)上是增函數.

當a<0時，令f′(x)＝0，得x＝－－1；

當x∈(－1，－－1)時，f′(x)>0，

當x∈(－－1，＋∞)時，f′(x)<0；

綜上，當a≥0時，函數f(x)的單調遞增區間是(－1，＋∞)；

當a<0時，函數f(x)的單調遞增區間是(－1，－－1)，單調遞減區間是

(－－1，＋∞).