Question

如圖3-3-16所示，在長(zhǎng)為4、寬為2的矩形中有一以矩形的長(zhǎng)為直徑的半圓，試用隨機(jī)模擬法近似計(jì)算半圓的面積，并估計(jì)π的值.

圖3-3-16

Answer 1

設(shè)事件A“隨機(jī)向矩形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)在半圓內(nèi)”.
第一步,用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次投點(diǎn)試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次落在(x,y)滿足的條件x²+y²<4(即點(diǎn)落在半圓內(nèi)).首先置n=0,m=0；
第二步,用變換rand()*4-2產(chǎn)生-2—2之間的均勻隨機(jī)數(shù)x表示所投的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；用變換rand()*2產(chǎn)生0—2之間的均勻隨機(jī)數(shù)y表示所投點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
第三步,判斷點(diǎn)是否落在陰影部分，即是否滿足x²+y²<4.如果是，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即m=m+1.如果不是，m的值保持不變；
第四步,表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1，即n=n+1.如果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回第二步繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束.
程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值.
設(shè)半圓的面積為S，矩形的面積為8，由幾何概率計(jì)算公式得P(A)=.
所以≈.
所以S≈即為陰影部分面積的近似值.
由面積公式得S=2π，
所以π≈.

本題考查幾何概型的計(jì)算公式及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法.