Question

已知偶函數y=f（x）滿足：當x≥2時，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）
（1）求當x≤-2時，f（x）的表達式；
（2）若直線y=1與函數y=f（x）的圖象恰好有兩個公共點，求實數a的取值范圍．
（3）試討論當實數a，m滿足什么條件時，函數g（x）=f（x）-m有4個零點且這4個零點從小到大依次成等差數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設x≤-2，則-x≥2，再利用函數是偶函數可求；（2）分a＞2與a≤2進行討論可求；（3）問題等價于f（x）=m零點x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點4個且均勻分布，從而可解．
解答：解：（1）設x≤-2，則-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵偶函數∴f（x）=f（-x）f（x）=（x+a）（-x-2）（2分）
（2）（Ⅰ）a＞2時x≥2，f（x）=（x-2）（a-x）
（3分）

（Ⅱ）a≤2時，都滿足
綜上，所以 a＜4（2分）
（3）f（x）=m零點x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點4個且均勻分布
（Ⅰ）a≤2時得（2分）

（Ⅱ）2＜a＜4時，時
且（2分）
所以 時，
（Ⅲ）a=4時m=1時    （1分）
（IV）a＞4時，m＞1
此時
所以 （舍）a＞4且時，時存在  （2分）
綜上：
①時，
②a=4時，m=1
③時，符合題意（1分）
點評：本題考查函數的性質，解析式的求解及分類討論的數學思想．