Question

已知函數f(x)=x-

1

2

a(x-1)2-lnx，其中a∈R．
（1）若x=2是f（x）的極值點，求a的值；
（2）若?x＞0，f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），由題意可得f′（2）=0，解出可得a值；
（2）f（x）≥1，即a（x-1）²≤2（x-1-lnx），x＞0，按x=1，x＞0且x≠1兩種情況進行討論：①當x=1時，由恒成立易求此時a的范圍；②當x＞0且x≠1時，分離出參數a，構造函數利用導數求函數的最值即可；

解答：解：（1）f/(x)=1-a(x-1)-

1

x

，
因為x=2是f（x）的極值點，所以f′（2）=0，
即1-a(2-1)-

1

2

=0解得a=

1

2

；
（2）依題意x-

1

2

a(x-1)2-lnx≥1，即a（x-1）²≤2（x-1-lnx），x＞0，
①當x=1時，a（x-1）²≤2（x-1-lnx）恒成立，a∈R；
②當x＞0且x≠1時，由a（x-1）²≤2（x-1-lnx），得a≤

2(x-1-lnx)

(x-1)2

，
設g（x）=x-1-lnx，x＞0，g′（x）=1-

1

x

，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1時g′（x）＞0，
所以?x＞0，g（x）≥g（1）=0，
所以，當x＞0且x≠1時，

2(x-1-lnx)

(x-1)2

＞0，從而a≤0，
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0]．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、閉區間上函數的最值，考查分類討論思想，函數恒成立問題往往轉化為函數最值問題解決．