Question

如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，
（1）求異面直線AC和DE所成的角
（2）求二面角A-CD-E的大小
（3）若Q為EF的中點，P為AC上一點，當為何值時，PQ∥平面EDC？

Answer 1

解：（1）以AB，AD，AF所在直線為坐標軸建立坐標系，如圖：
設AD=2，則 A（0，0，0），C（1，-1，0），D（0，-2，0），
E（0，-1，1），F（0，0，1）．
∴，∴，
∴異面直線AC和DE所成的角為60°．
（2），
設平面CDE的法向量為，則 ，取x=1，y=-1，z=1，故．
平面CDA的一個法向量為，，
所以二面角A-CD-E的大小為．
（3），設P（x，y，0），，由得 ，，
令，求得λ=3，因此的值為3時，PQ∥平面EDC．
分析：（1）以AB，AD，AF所在直線為坐標軸建立坐標系，求出的值，即可得到異面直線AC和DE所成的角．
（2）求出兩個平面的法向量的坐標，即可求得這兩個法向量的夾角的余弦值，從而得到二面角A-CD-E的大小．
（3）設P（x，y，0），由得到的坐標，由 求得λ值，即得所求．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，證明線面平行的方法，求二面角的大小，體現了轉化的數學思想，
準確求出有關向量的坐標是解題的關鍵．