Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為

40

3

．
（1）求棱A₁A的長；
（2）若在線段BC₁上存在點P，使直線A₁P⊥C₁D，求二面角D-A₁P-B的大小．

Answer 1

分析：（1）利用V_ABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1BC1，建立方程，即可求得A₁A的長；
（2）以

DA

，

DC

，

DD1

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用A₁P⊥C₁D，求出點P的坐標，進而可求平面DA₁P 的法向量

m

=（（2，1，-1），平面BA₁P的法向量

n

=（2，2，1），利用向量的夾角公式，即可求得二面角D-A₁P-B的大小．

解答：解：（1）設A₁A=h，則V_ABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1BC1=2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

解得：h=4，即A₁A的長為4．（4分）
（2）以

DA

，

DC

，

DD1

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A₁（2，0，4），B（2，2，0），C₁（0，2，4）（6分）

BC1

=(-2，0，4)，

BP

=(x-2，0，z)
若在線段BC₁上存在點P（x，2，z）（0≤x≤2，0≤z≤4）使直線A₁P⊥C₁D
∵P、B、C₁共線，∴

x-2

-2

=

z

4

，∴z=4-2x
∴

A1P

=(x-2，2，-2x)
由A₁P⊥C₁D得：（x-2，2，-2x）•（0，2，4）=0，解得：x=

1

2

      （8分）
此時點P的坐標為（

1

2

，2，3），
設平面DA₁P 的法向量為

m

=（x，y，z），∴

m • DA1 =0 m • A1P =0

，∴

2x+4z=0 - 3 2 x+2y-z=0

所以可取

m

=（（2，1，-1），
設平面BA₁P的法向量為

n

=（x′，y′，z′），∴

m • BA1 =0 m • A1P =0

，∴

-2y′+4z′=0 - 3 2 x′+2y′-z′=0

所以可取

n

=（2，2，1）（10分）
∴二面角D-A₁P-B的余弦值為

4+2-1

6 ×3

=

5 6

18

∴二面角D-A₁P-B的大小為arccos

5 6

18

（12分）

點評：本題考查幾何體軛體積，空間角的計算等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力，同時考查學生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力．