Question

如圖，在四棱錐中，側面底面,,為中點，底面是直角梯形，,，,．

(1) 求證：平面；
(2) 求證：平面平面；
(3) 設為棱上一點，,試確定的值使得二面角為．

Answer 1

(1) (2)詳見試題解析；(3) ．

試題分析：(1)轉化為線線平行：在平面內找的平行線；或轉化為面面平行，經過找與平面平行的平面；(2) 轉化為線面垂直，可先證明平面，再利用面面垂直的判定定理證得結果；(3)首先建立空間直角坐標系，利用空間向量求平面和平面的法向量，利用夾角公式列方程可求得的值．

試題解析：令中點為，連接，    １分
點分別是的中點，
,.
四邊形為平行四邊形.    ２分
,平面,
平面                ３分
(三個條件少寫一個不得該步驟分)    
 　　　　       ４分
（2）在梯形中,過點作于,
在中，,.
又在中，,,
, 
.　　　　　　    ５分
面面,面面,,面,
面,　　　　　　　　　　　　　    ６分
,　                                   7分
,平面,平面
平面,　　　　　　　　　　　　　     8分
平面,　　　　　　　　　　　　　
平面平面 　　　　　　　　　　     9分
(３)以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系．   １０分
則.

令，，
。
平面，
即平面的法向量
．　　　　　　　   １１分
設面的法向量為
則,即．
令，得．   １２分
二面角為，
，解得．   １３分
在上，，為所求．　　　　　　　　   １４分