Question

已知函數f（x）=lg（2^x-b）（b為常數），若x≥1時，f（x）≥0恒成立，則b的取值范圍是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：根據題意，結合對數函數的性質得：不等式b≤2^x-1對任意x∈[1，+∞）恒成立，再由指數函數的單調性即可求出b的最大值，從而得到b的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=lg（2^x-b），當x≥1時，f（x）≥0恒成立，
∴2^x-b≥1，對任意x∈[1，+∞）恒成立，即b≤2^x-1，
而x∈[1，+∞）時，t=2^x-1是增函數，得t=2^x-1的最小值為1，
由此可得b≤1，即b的取值范圍是（-∞，1]
故答案為：（-∞，1]

點評：本題給出真數函數指數式的對數型函數，在不等式恒成立的情況下求參數b的取值范圍，著重考查了基本初等函數的單調性和函數恒成立等知識點，屬于基礎題．