Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F₁，F₂，離心率e=

2

2

，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，

F1M

•

F2N

=0
（Ⅰ）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求a，b的值；
（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，

F1M

+

F2N

與

F1F2

共線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M(

2

a，y1)，N(

2

a，y2)，根據題意由

F1M

•

F2N

=0得y1y2=-

3

2

a2＜0，由|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

，

( 2 2 a)2+y22

=2

5

，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²．當且僅當y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a時，|MN|取最小值

6

2

a，由能夠推導出

F1M

+

F2N

與

F1F2

共線．

解答：解：由a²-b²=c²與e=

c

a

=

2

2

，得a²=2b²，F1(-

2

2

a，0)，F2(

2

2

a，0)，l的方程為x=

2

a
設M(

2

a，y1)，N(

2

a，y2)
則

F1M

=(

3 2

2

a，y1)，

F2N

=(

2

2

a，y2)
由

F1M

•

F2N

=0得y1y2=-

3

2

a2＜0①
（Ⅰ）由|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

②

( 2 2 a)2+y22

=2

5

③
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，并求得a²=4
故a=2，b=

2

2

=

2

（Ⅱ）證明：|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²
當且僅當y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a時，|MN|取最小值

6

2

a
此時，

F1M

+

F2N

=(

3 2

2

a，y1)+(

2

2

a，y2)=(2

2

a，y1+y2)=(2

2

a，0)=2

F1F2

故

F1M

+

F2N

與

F1F2

共線．

點評：此題重點考查橢圓中的基本量的關系，進而求橢圓待定常數，考查向量的綜合應用；熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練地進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應用．