Question

9．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E為AB的中點，則點B到平面D₁EC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B到平面D₁EC的距離．

解答 解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
點E為AB的中點，
以D為原點，建立空間直角坐標系，如圖
∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），
D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{EB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-1，-1，1），
設平面D₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{D}_{1}}=-x-y+z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∴點B到平面D₁EC的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．