Question

高二下學期，學校計劃為同學們提供A．B．C．D四門方向不同的數學選修課，現在甲、乙、丙三位同學要從中任選一門學習（受條件限制，不允許多選，也不允許不選）．
（I）求3位同學中，選擇3門不同方向選修的概率；
（II）求恰有2門選修沒有被3位同學選中的概率；
（III）求3位同學中，選擇A選修課人數ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）3位同學任選一門有4³種選擇，從4門課中選3門課選修有A₄³種情形，根據概率公式可知結論；
（Ⅱ）3位同學任選一門有4³種選擇，從4門課中選3門課選修，恰有2門沒有選中有C₄²C₃²A₂²種情形，根據概率公式可知結論；  
（Ⅲ）ξ的取值為0.1.2.3，然后分別求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望的公式進行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）設3位同學中，從4門課中選3門課選修為事件M，
則．                                 …（2分）
（Ⅱ）設3位同學中，從4門課中選3門課選修，恰有2門沒有選中為事件N，
則．                     …（5分）
（Ⅲ）由題意，ξ的取值為0.1.2.3．
則，，
，．
∴ξ的分布列為：

ξ		1	2	…（10分） 3
P

∴．         …（12分）
點評：本題考查等可能事件的概率，排列數公式，組合數公式的應用，體現了分類討論的數學思想，是一道中檔題．