Question

據(jù)行業(yè)協(xié)會預(yù)測：某公司以每噸10萬元的價(jià)格銷售某種化工產(chǎn)品，可售出該產(chǎn)品1000噸，若將該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲x%，則銷售量將減少mx%，且該化工產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲幅度不超過80%，其中m為正常數(shù)．
（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大？
（2）如果漲價(jià)能使銷售總金額比原銷售總金額多，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要求當(dāng)m=

1

2

時(shí)，該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大，我們要根據(jù)已知條件先構(gòu)造出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，求出銷售的總金額的最大值．
（2）由（1）中的解析式，我們易得=-mx²+100（1-m）x+10000＞10000在x∈（0，80]恒成立，然后轉(zhuǎn)化為一個(gè)恒成立問題，即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)產(chǎn)品每噸價(jià)格上漲x%時(shí)，銷售總金額為y元．
則y=10（1+x%）′1000（1-mx%）
=-mx²+100（1-m）x+10000
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，y=-

1

2

（x-50）²+11250，
故當(dāng)x=50時(shí)，y_max=11250（元）．
（2）y=-mx²+100（1-m）x+10000x∈（0，80]
y=-mx²+100（1-m）x+10000＞10000在x∈（0，80]恒成立
除去x得，-mx+100（1-m）＞0在x∈（0，80]恒成立
m為正常數(shù)，

100(1-m)

m

＞x，
而x∈（0，80]，
故

100(1-m)

m

＞80，
∴m∈(0，

5

9

)．

點(diǎn)評：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解模→還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．