Question

一中食堂有一個面食窗口,假設學生買飯所需的時間互相獨立,且都是整數分鐘,對以往學生買飯所需的時間統計結果如下:

買飯時間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

從第一個學生開始買飯時計時.

（Ⅰ）估計第三個學生恰好等待4分鐘開始買飯的概率;

（Ⅱ）表示至第2分鐘末已買完飯的人數,求的分布列及數學期望

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）第2分鐘末沒有人買晚飯的概率；（Ⅱ）第三個學生恰好等待4分鐘開始買飯的概率．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）估計第三個學生恰好等待4分鐘開始買飯的概率，包括①第一個學生買飯所需的時間為1分鐘,且第二個學生買飯所需的時間為3分鐘;②第一個學生買飯所需的時間為3分鐘,且第二個學生買飯所需的時間為1分鐘;③第一個和第二個學生買飯所需的時間均為2分鐘.這三個事件，根據互斥事件的概率求法，即可求出概率;（Ⅱ）表示至第2分鐘末已買完飯的人數,包括三種情況, 第2分鐘末沒有人買晚飯,第2分鐘末有一人買飯,它包括:第一個學生買飯所需的時間為1分鐘且第二個學生買飯所需的時間超過1分鐘,或第一個學生買飯所需的時間為2分鐘,第2分鐘末,有兩人買飯,故所有可能的取值為,分別求出概率,從而寫出的分布列,求出數學期望.

試題解析：（Ⅰ）設表示學生買飯所需的時間,用頻率估計概率,得的分布列如下:

	1	2	3	4	5
	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

(1)表示事件“第三個學生恰好等待4分鐘開始買飯”,則事件A對應三種情形:

①第一個學生買飯所需的時間為1分鐘,且第二個學生買飯所需的時間為3分鐘;②第一個學生買飯所需的時間為3分鐘,且第二個學生買飯所需的時間為1分鐘;③第一個和第二個學生買飯所需的時間均為2分鐘.

所以 

        (6分)

（Ⅱ）所有可能的取值為 

對應第一個學生買飯所需的時間超過2分鐘,

所以 

對應第一個學生買飯所需的時間為1分鐘且第二個學生買飯所需的時間超過1分鐘,或第一個學生買飯所需的時間為2分鐘.

所以 

 

對應兩個學生買飯所需時間均為1分鐘,

所以 

所以的分布列為

	0	1	2
	0.5	0.49	0.01

           (12分)

考點：互斥事件的概率,分布列及數學期望.