Question

如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，．點M，N分別在邊AB和AC上（M點和B點不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變為△A'MN，使頂點A'落在邊BC上（A'點和B點不重合）．設∠AMN=θ．
（1）用θ表示線段AM的長度，并寫出θ的取值范圍；
（2）在△AMN中，若，求線段A'N長度的最小值．

Answer 1

解：（1）設MA=MA'=x，則MB=1-x．
在Rt△MBA'中，，
∴．
∵點M在線段AB上，M點和B點不重合，A'點和B點不重合，
∴45°＜θ＜90°．
（2）∵，
∴∠MAN=60°，在△AMN中∠ANM=120°-θ，，
=．
令
=
=．
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°．
當且僅當2θ-30°=90°，θ=60°時，t有最大值，
∴θ=60°時，A'N有最小值．
分析：（1）設MA=MA'=x，則MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函數可求；（2）求線段A'N長度的最小值，即求線段AN長度的最小值，再利用三角恒等變換化簡，從而求最值．
點評：本題主要考查在實際問題中建立三角函數模型，從而利用三角函數中研究最值的方法解決最值問題，應注意角的范圍的確定是關鍵．