Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-alnx與的圖象分別交直線x=1于點(diǎn)A，B，且曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線與曲線y=g（x）在點(diǎn)B處的切線平行（斜率相等）．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）當(dāng)a＜1時(shí)，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)并求出它們?cè)趚=1的導(dǎo)數(shù)值，由導(dǎo)數(shù)值相等求出a的值則兩個(gè)函數(shù)的解析式可求；
（2）把a(bǔ)=2代入兩個(gè)函數(shù)解析式，求出函數(shù)h（x），求導(dǎo)后把導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解，然后由x=1對(duì)定義域分段，求出導(dǎo)函數(shù)在兩段內(nèi)的符號(hào)，判出單調(diào)性，從而求得函數(shù)h（x）的最小值；
（3）把a(bǔ)=分別代入函數(shù)f（x）和g（x）的解析式，分別求出導(dǎo)函數(shù)后判斷各自導(dǎo)函數(shù)在上的符號(hào)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得到函數(shù)f（x）在上的最小值和函數(shù)g（x）在上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分離參數(shù)m后求出的最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可求．
解答：解：（1）由f（x）=x²-alnx，得，所以f^′（1）=2-a．
由，得，所以．
又由題意可得f'（1）=g'（1），
即，故a=2，或．
所以當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-2lnx，；
當(dāng)時(shí)，，．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，a=2，，
函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．

=．
由x＞0，得，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）遞增，
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最小值為．
（3）因?yàn)閍＜1，所以，此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，得，
f（x）在上為減函數(shù)，．
當(dāng)時(shí)，由，得，
g（x）在上為增函數(shù)，，且．
要使不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，當(dāng)時(shí)，m為任意實(shí)數(shù)；
當(dāng)時(shí)，不等式f（x）≥m•g（x）化為，
而．
所以．
所以當(dāng)a＜1時(shí)，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用分離變量求參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，在分類討論時(shí)，此題對(duì)細(xì)節(jié)的分類要求較高，屬難度較大的題目．