Question

（2011•東城區一模）甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設甲面試合格的概率為

1

2

，乙、丙面試合格的概率都是

1

3

，且面試是否合格互不影響．
（Ⅰ）求至少有1人面試合格的概率；
（Ⅱ）求簽約人數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A，B，C相互獨立，且P(A)=

1

2

，P(B)=P(C)=

1

3

．由至少有1人面試合格的概率是1-P（

.

A

.

B

.

C

），能求出至少有1人面試合格的概率．（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求了P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．
由題意知A，B，C相互獨立，
且P(A)=

1

2

，P(B)=P(C)=

1

3

．
至少有1人面試合格的概率是：
1-P（

.

A

.

B

.

C

）
=1-P(

.

A

) P(

.

B

) P(

.

C

)
=1-

1

2

×

2

3

×

2

3

=

7

9

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）+P（

.

A

.

B

 

.

C

）
=P(

.

A

)P(B)P(

.

C

)+P(

.

A

) P(

.

B

) P(C)+P(

.

A

)P(

.

B

) P(

.

C

)
=

1

2

×

1

3

×

2

3

+

1

2

×

2

3

×

1

3

+

1

2

×

2

3

×

2

3

=

4

9

．
P（ξ=1）=P（A

.

B

C）+P（AB

.

C

）+P(A

.

B

.

C

)
=P(A)P(

.

B

) P(C)+P(A)P(B)P(

.

C

)P(A)P(

.

B

) P(

.

C

)
=

1

2

×

2

3

×

1

3

+

1

2

×

1

3

×

2

3

+

1

2

×

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（ξ=2）=P（

.

A

BC）=

1

2

×

1

3

×

1

3

=

1

18

，
P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=

1

2

×

1

3

×

1

3

=

1

18

．
∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	4 9	4 9	1 18	1 18

故ξ的期望Eξ=0×

4

9

+1×

4

9

+2×

1

18

+3×

1

18

=

13

18

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．