Question

外貿運動鞋的加工生產中，以美元為結算貨幣，依據數據統計分析，若加工產品訂單的金額為x萬美元，可獲得加工費近似地為

1

2

ln（2x+1）萬美元，由于生產加工簽約和成品交付要經歷一段時間，收益將因美元貶值而損失mx萬美元，其中m∈（0，1）為該時段美元的貶值指數，從而實際所得的加工費為f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx萬美元．
（Ⅰ）若美元貶值指數m=

1

200

，為確保實際所得加工費隨x的增加而增加，加工產品訂單的金額x應在什么范圍內？
（Ⅱ）若加工產品訂單的金額為x萬美元時共需要的生產成本為p=

1

20

x萬美元，已知加工生產能力為x∈[10，20]（其中x為產品訂單的金額），試問美元的貶值指數m為何范圍時，加工生產將不會出現虧損（即當x∈[10，20]時，都有f（x）≥p成立）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=

1

200

代入函數解析式f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx，求導后由導函數大于0得到x的取值范圍；
（Ⅱ）由題意列出不等式f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，分離變量

1

20

+m，構造輔助函數g(x)=

ln(2x+1)

2x

，利用兩次求導得到函數g（x）的單調性，由單調性求出g（x）的最小值，則m的取值范圍可求．

解答：解：（Ⅰ）由已知m=

1

200

，
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-

1

200x

，其中x＞0．
所以f′(x)=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

．
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，
解得0＜x＜99.5．
即加工產品訂單的金額x∈（0，99.5）（單位：萬美元）時，實際所得加工費隨x的增加而增加．
（Ⅱ）依題意，企業加工生產不出現虧損，則當x∈[10，20]時，都有
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x．
可得

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

．
令g(x)=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]．
則g′(x)=

2 2x+1 x-ln(2x+1)

2x2

=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

．
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1）．
則h′(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)•

2

2x+1

]=-2ln（2x+1）＜0．
可知h（x）在區間[10，20]上單調遞減，h（x）最小值為h（20）=40-41ln41＜0，
最大值為h（10）=20-21ln21＜0，所以當x∈[10，20]時，g′（x）＜0，g（x）在區間[10，20]上單調遞減，
因此g(x)min=

ln41

40

，即m≤

ln41

40

-

1

20

．
故當美元的貶值指數m∈(0，

ln41-2

40

)時，加工生產不會虧損．

點評：本題考查了導數在最大值和最小值中的應用，訓練了分離變量法，構造輔助函數并通過兩次求導判處輔助函數的單調性是解答此題的關鍵，本題也考查了建模思想，學會審題并由題意列出相關不等式是解決該題的前提，是有一定難度題目．