Question

已知A、B、C是△ABC的內角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1．
（1）求角A；
（2）若a=

3

，S△ABC=

3

2

，求b和c的值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積運算法則，化簡

m

•

n

=1，然后利用兩角正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據A的范圍求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數值求出這個角的度數，進而得到A的度數；
（2）根據（1）求出的A的度數，計算得到cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，化簡得到一個關系式，記作①，然后再根據三角形的面積公式，由sinA的值求出bc的值，把bc和a的值代入①即可列出b與c的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到b與c的值．

解答：解：（1）由

m

•

n

=1，得到-cosA+

3

sinA=1，
即

3

sinA-cosA=1，化簡得sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）由cosA=

1

2

，可知

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，即（b+c）²-a²=3bc①，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，得bc=2，又a=

3

，
代入①得：b+c=3，
聯立得

bc=2 b+c=3

，解得：

b=1 c=2

或

b=2 c=1

．

點評：此題考查了三角函數的恒等變換，余弦定理及三角形的面積公式．要求學生掌握兩角和與差得正弦函數公式，牢記特殊角的三角函數值．