Question

如果直線l是平面α的斜線，那么在平面α內（ ）
A．不存在與l平行的直線
B．不存在與l垂直的直線
C．與l垂直的直線只有一條
D．與l平行的直線有無窮多條

Answer 1

【答案】分析：A．不存在與l平行的直線，可用反證法證明：設l∩α=P，假設α內存在與l平行的直線m，則m不過點P，在α內過點P作n∥m，則n∥l，得出矛盾，故假設不成立，即可判斷出；
B．如圖2，在平面α內存在無數條與l垂直的直線．證明如下：設l∩α=A，在l取異于點A的P，過PB⊥α，垂足為B，在α內作m⊥AB，由三垂線定理可得m⊥l，則在α所有與m平行的直線n都與l垂直，即在平面α內存在無數條與l垂直的直線，據此即可判斷出．
C．由B可知：在平面α內存在無數條與l垂直的直線．因此C不正確．
D．由A可知：不存在與l平行的直線，因此D不正確．
解答：解：A．不存在與l平行的直線，可用反證法證明：設l∩α=P，假設α內存在與l平行的直線m，則m不過點P，在α內過點P作n∥m，則n∥l，得出矛盾，故假設不成立，因此A不正確；
B．如圖2，在平面α內存在無數條與l垂直的直線．證明如下：設l∩α=A，在l取異于點A的P，過PB⊥α，垂足為B，在α內作m⊥AB，由三垂線定理可得m⊥l，
則在α所有與m平行的直線n都與l垂直，即在平面α內存在無數條與l垂直的直線．因此B不正確．
C．由B可知：在平面α內存在無數條與l垂直的直線．因此C不正確．
D．由A可知：不存在與l平行的直線，因此D不正確．
綜上可知：只有A正確．
故選A．
點評：熟練掌握線面平行于垂直的判定定理和性質定理、反證法、三垂線定理是解題的關鍵．