Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=n²-n-30．
（1）求數列的前三項，60是此數列的第幾項．
（2）n為何值時，a_n=0，a_n＞0，a_n＜0．
（3）該數列前n項和S_n是否存在最值？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設a_n=60，則60=n²-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．由此可知60是此數列的第10項．
（2）令n²-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．a₆=0．令n²-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．由此可知當0＜n＜6（n∈N^*）時，a_n＜0．
（3）由a_n=n²-n-30=（n-）²-30，n∈N^*，知{a_n}是遞增數列，故S_n存在最小值S₅=S₆，S_n不存在最大值．
解答：解：（1）由a_n=n²-n-30，得
a₁=1-1-30=-30，
a₂=2²-2-30=-28，
a₃=3²-3-30=-24．
設a_n=60，則60=n²-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．
∴60是此數列的第10項．
（2）令n²-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．
∴a₆=0．
令n²-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．
∴當n＞6（n∈N^*）時，a_n＞0．
令n²-n-30＜0，解得-5＜n＜6．
又n∈N^*，∴0＜n＜6．
∴當0＜n＜6（n∈N^*）時，a_n＜0．
（3）由a_n=n²-n-30=（n-）²-30，n∈N^*，
知{a_n}是遞增數列，
且a₁＜a₂＜＜a₅＜a₆=0＜a₇＜a₈＜a₉＜，
故S_n存在最小值S₅=S₆，S_n不存在最大值．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．