Question

11．已知圓C：（x-1）²+（y-a）²=16，若直線ax+y-2=0與圓C相交于AB兩點，且CA⊥CB，則實數a的值是-1．

Answer 1

分析 求出圓C的圓心C（1，a），半徑r=4，由直線ax+y-2=0與圓C相交于AB兩點，且CA⊥CB，得到AB=4$\sqrt{2}$，由此利用圓心C（1，a）到直線AB的距離d=$\frac{|a+a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$2\sqrt{2}$，能求出a．

解答 解：圓C：（x-1）²+（y-a）²=16的圓心C（1，a），半徑r=4，
∵直線ax+y-2=0與圓C相交于AB兩點，且CA⊥CB，
∴AB=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
∴圓心C（1，a）到直線AB的距離：
d=$\frac{|a+a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$2\sqrt{2}$，
解得a=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查實數值的求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．