Question

（2009•濰坊二模）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中各棱長均為a，F、M分別為A₁C₁、CC₁的中點．求證：
（I）BC₁∥平面AFB₁
（Ⅱ）A₁M⊥平面AFB₁．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的中位線證明EF∥BC₁，再利用線面平行的判定，即可得到結論；
（Ⅱ）先利用面面垂直，得到B₁F⊥平面AA₁C₁C，從而可得B₁F⊥A₁M，再證明A₁M⊥AF，利用線面垂直的判定可證結論．

解答：證明：（I）連接A₁B交AB₁于E，連接EF，
∵EF為△A₁BC₁的中位線，
∴EF∥BC₁，
又∵EF?平面AB₁F，BC₁ ?平面AB₁F
∴BC₁∥平面AB₁F，
（Ⅱ）在正三棱柱中，∵B₂F⊥A₁C₁，面A₁C₁B₁⊥面ACC₁A₁，
∴B₁F⊥平面AA₁C₁C，
∵A₁M?平面AA₁C₁C，
∴B₁F⊥A₁M，
在△AA₁F中，tan∠AFA1=

AA1

A1F

=2，
在△A₁MC₁中，tan∠A1MC1=

A1C1

MC1

=2
∴∠AFA₁=∠A₁MC₁，
又∵∠A₁MC₁+∠MA₁C₁=90°，
∴∠AFA₁+∠MA₁C₁=90°，
∴A₁M⊥AF，
又∵AF∩B₁F=F，
∴A₁M⊥平面AFB₁．

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查面面垂直的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．