Question

已知點F為拋物線C：y²=4x的焦點，點P是準線l上的動點，直線PF交拋物線C于A，B兩點，若點P的縱坐標為m（m≠0），點D為準線l與x軸的交點．
（Ⅰ）求直線PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面積S范圍；
（Ⅲ）設，，求證λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題知點P，F的坐標分別為（-1，m），（1，0），求出斜率用點斜式寫出直線方程．
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），用弦長公式求出線段AB的長，再由點到直線的距離公式求點D到直線AB的距離，用三角形面積公式表示出面積關于參數m的表達式，再根據m的取值范圍求出面積的范圍．
（Ⅲ），，變化為坐標表示式，從中求出參數λ，μ用兩點A，B的坐標表示的表達式，即可證明出兩者之和為定值．
解答：解：（Ⅰ）由題知點P，F的坐標分別為（-1，m），（1，0），
于是直線PF的斜率為，
所以直線PF的方程為，即為mx+2y-m=0．（3分）

（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得m²x²-（2m²+16）x+m²=0，
所以，x₁x₂=1．
于是．
點D到直線mx+2y-m=0的距離，
所以．
因為m∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面積S范圍是（4，+∞）．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（-1-x₁，m-y₁）=μ（x₂+1，y₂-m），
于是，（x₂≠±1）．
所以．
所以λ+μ為定值0．（14分）
點評：考查求直線方程、拋物線在的焦點弦弦長公式、點到直線的距離公式及向量中數乘向量的意義，涉及知識較多，綜合性較強．