Question

19、如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（I）  求異面直線BD與B₁C所成的角；
（II）  求證平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

Answer 1

分析：（I）由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長為1的正方體，結合正方體的幾何特征，我們易得∠D₁B₁C就是異面直線BD與B₁C所成的角，解三角形D₁B₁C，即可得到異面直線BD與B₁C所成的角；
（II）由正方體的性質可知DD₁⊥面AC，即DD₁⊥AC，又由AC⊥BD，結合線面垂直的判定定理可得AC⊥面B₁D₁DB，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

解答：解：（Ⅰ）如圖，DB∥D₁B₁，
則∠D₁B₁C就是異面直線BD與B₁C所成的角．
連接D₁C，在△D₁B₁C中，D₁B₁=B₁C=CD₁，
則∠D₁B₁C=60°，
因此異面直線BD與B₁C所成的角為60°．（4分）
（Ⅱ）由正方體的性質可知DD₁⊥面AC，
故DD₁⊥AC，
又正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC⊥面B₁D₁DB；
又AC?平面ACB₁，
∴平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．（8分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定及異面直線及其所成的角，熟練掌握正方體的幾何特征，從中分析出線與線、線與面的平行、垂直關系及夾角是解答本題的關鍵．