Question

如圖半徑為2的圓內接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數式，并求出它的定義域；
（2）求出周長y的最大值及相應x的值．

Answer 1

分析：（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，設OE=a，則EB=2-a，由勾股定理得OC²-OE²=BC²-BE²，代入整理可得a；
周長y=AB+2BC+CD=4+2x+2a；由0＜a＜2，可得x的取值范圍；
（2）函數y=-

x2

2

+2x+8是二次函數，定義域為x∈（0，

2

），用配方法可以求得y的最大值及對應x的值．

解答：解：（1）如圖所示，過點C作CE⊥AB，垂足為E，
設OE=a，則EB=2-a，∴OC²-OE²=BC²-BE²，即2²-a²=x²-（2-a）²，∴a=

8-x2

4

；
∴y=AB+2BC+CD=4+2x+2a=4+2x+

8-x2

2

=-

x2

2

+2x+8；由0＜a＜2，得0＜

8-x2

4

＜2，∴0＜x＜2

2

；
所以，周長y=-

x2

2

+2x+8   x∈(0，2

2

)；
（2）周長函數y=-

x2

2

+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，其中x∈（0，2

2

），所以，當x=2時，y有最大值，為10．

點評：本題考查了二次函數模型的應用，利用二次函數的解析式求函數的最值時，通常用配方法解答；本題是基礎題．