Question

設拋物線C：y=x²-2m²x-（2m²+1）（m∈R），
（1）求證：拋物線C恒過x軸上一定點M；
（2）若拋物線與x軸的正半軸交于點N，與y軸交于點P，求證：PN的斜率為定值；
（3）當m為何值時，△PMN的面積最小？并求此最小值．

Answer 1

分析：（1）整理拋物線方程后x-1=0，即x=1時，求得y=0，進而可推斷拋物線恒過（1，0）．
（2）令y=0得到關于x的一元二次方程，求得方程的根，進而確定n點坐標，令x=0，則可求得y，進而可得P點坐標．
（3）依題得mn為三角形PMN的底，P點縱坐標的長度為三角形PMN的高．根據點P的坐標求得三角形的高，最后根據三角形面積公式得到三角形面積的表達式，根據函數的單調性求得三角形面積的最小值．

解答：解：（1）由y=x²-2m²x-（2m²+1）得
y=x²-2m²（x-1）-1
令x-1=0，即x=1，則無論m為何值，總有y=1²-0-1=0．即拋物線恒過（1，0）．
（2）令y=0，有[x-（2m²+1）]（x+1）=0，解得x=2m²+1或x=-1，由于-1＜0，故n點坐標為（2m²+1，0）．
令x=0，得y=-（2m²+1），即p點坐標為（0，-（2m²+1））．
故pn的斜率=

-(2m2+1)-0

0-(2m 2+1)

=1為定值．
（3）依題得mn為三角形PMN的底，P點縱坐標的長度為三角形PMN的高．且
mn=2m²+1-1=2m²
p點縱坐標的長度=2m²+1
故S_△PMN=

1

2

•2m²•（2m²+1）=2m⁴+m²，故當m=0時，三角形PMN面積有最小值0

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生綜合分析問題和運算的能力．