Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若有兩個不同的零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，使，分離參數(shù)可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.

（2），設(shè)，函數(shù)有兩個不同的零點等價于函數(shù)有兩個不同的零點，求出，分類討論當(dāng)、、或時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)的零點個數(shù)，進而確定的取值范圍.

解：（1）函數(shù)的定義域為.

∵，

∴.

若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，

則.

∴ 對恒成立.

設(shè).

令，

解得.

∴.

令，解得，

令，解得，

函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴函數(shù)的最小值為.

∴，即的取值范圍是.

（2）由已知，.

設(shè)，

則函數(shù)有兩個不同的零點等價于函數(shù)有兩個不同的零點.

∵，

∴當(dāng)時，

函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

若函數(shù)有兩個不同的零點，

則，即.

當(dāng)時，

當(dāng)時，.

當(dāng)時，，

∵，

∴.

∴.

∴函數(shù)在，上各有一個零點.

故符合題意.

當(dāng)時，

∵函數(shù)在單調(diào)遞減，

∴函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.

當(dāng)時，

∵函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴函數(shù)的極小值為.

∴函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.

當(dāng)時，

∵函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴函數(shù)的極小值為.

∴函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.

綜上，的取值范圍是.