Question

已知a、b為正有理數，設m=

b

a

，n=

2a+b

a+b

．
（Ⅰ）比較m、n的大小；
（Ⅱ）求證：

2

的大小在m、n之間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將m、n作差后變形到因式乘積的形式，分類討論此差與零的關系，從而得出它們的大小關系．
（Ⅱ）先求出m-

2

與 m+

2

的解析式，考查（m-

2

）與 （m+

2

）的積的符號小于零，故

2

的大小在m、n之間．

解答：解：（Ⅰ）m-n=

b

a

-

2a+b

a+b

=

b2-2a2

a(a+b)

=

(b+ 2 a)(b- 2 a)

a(a+b)

，
∵a、b為正有理數，∴b≠

2

a，
∴當b＞

2

a時，m＞n，當b＜

2

a時，m＜n．
（Ⅱ）∵m-

2

=

b

a

-

2

=

b- 2 a

a

，n-

2

=

2a+b

a+b

-

2

=

( 2 -1)( 2 a-b)

a+b

，
∴(m-

2

)(n-

2

)=-

( 2 -1)( 2 a-b)

a(a+b)

＜0，
因此，

2

的大小在m、n之間．

點評：本題考查不等式的基本性質，體現了分類討論的數學思想；證明

2

的大小在m、n之間，只要證明 （m-

2

）與 （m+

2

）的積的符號小于零即可．