Question

函數f（x）定義在區間[a，b]上，設“min{f（x）|x∈D}”表示函數f（x）在集合D上的最小值，“max{f（x）|x∈D}”表示函數f（x）在集合D上的最大值．現設f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），
若存在最小正整數k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為區間[a，b]上的“第k類壓縮函數”．
（Ⅰ） 若函數f（x）=x³-3x²，x∈[0，3]，求f（x）的最大值，寫出f₁（x），f₂（x）的解析式；
（Ⅱ） 若m＞0，函數f（x）=x³-mx²是[0，m]上的“第3類壓縮函數”，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出導函數，令導函數大于0求出x的范圍即為遞增區間；令導函數小于0求出x的范圍即為遞減區間，利用f₁（x），f₂（x）的定義，求出它們的解析式．
（II）求出函數f（x）=x³-mx²的導函數，通過導數判斷出其單調性，得到f₁（x），f₂（x）的解析式，根據“第3類壓縮函數”的定義列出不等式，求出m的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由于f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=3x²-6x＞0得2＜x＜3；f'（x）=3x²-6x＜0得0＜x＜2
故f（x）在[0，2]上單調遞減，在[2，3]上單調遞增．
所以，f（x）的最大值為max{f（0），f（3）}=0．…（3分）
，…（6分）
f₂（x）=0，…（9分）
（Ⅱ）由于f'（x）=3x²-2mx，
故f（x）在上單調遞減，在上單調遞增，
而f（0）=f（m）=0，，
故，f₂（x）=0，
．…（11分）
設對正整數k有f₂（x）-f₁（x）≤kx對x∈[0，m]恒成立，
當x=0時，k∈N^*均成立；
當時，恒成立，
而，
故；
當時，恒成立，
而；
故；
所以，，
又f（x）是[0，m]上的“第3類壓縮函數”，
故，
所以，．…（14分）
點評：本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力．要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題．