Question

【題目】已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推. 設該數列的前項和為,

規定：若 ,使得（ ），則稱為該數列的“佳冪數”.

（Ⅰ）將該數列的“佳冪數”從小到大排列，直接寫出前3個“佳冪數”；

（Ⅱ）試判斷50是否為“佳冪數”，并說明理由；

（III）（i）求滿足>70的最小的“佳冪數”;

（ii）證明：該數列的“佳冪數”有無數個.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1，2，3；（Ⅱ）見解析；（III）（i）95；（ii）見解析.

【解析】試題分析：(1) (2)先根據題意確定前9項有45個數，所以，不能表示為，因此不是“佳冪數”（3）（i）因為，所以， 結合條件確定t的最小值，解得最小的“佳冪數”（ii）由得“佳冪數”有無數個

試題解析：（Ⅰ）1，2，3；

（Ⅱ）由題意可得，數列如下：

第1組:1，第2組:1,2；第3組：1,2,4； 第k組： .

則該數列的前項的和為:

，①

當時， ，

則 ，

由于，對 ， ，故50不是“佳冪數”.

（III）（i）在①中，要使，有，

此時，

所以是第組等比數列的部分項的和，

設

所以，則，此時，

所以對應滿足條件的最小“佳冪數”.

（ii）由（i）知：

當，且取任意整數時，可得“佳冪數”，

所以，該數列的“佳冪數”有無數個.