Question

已知直線l過點（3，2），且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點，求當△AOB的面積最小時，直線l的方程．

Answer 1

分析：設l的斜率為k給出直線的點斜式方程，用參數k表示出下線與兩坐標軸的交點，表示出△AOB面積，判斷其最小值，求出此時的k值，代入即得直線的方程．

解答：解　如圖所示，設直線l的斜率為k，則其方程為y-2=k（x-3）．
當x=0時，y=-3k+2；令y=0得x=-

2

k

+3．
∴S_△AOB=

1

2

（-3k+2）（-

2

k

+3）=

1

2

[12+（-9k-

4

k

）]
∵直線l與x軸和y軸的正半軸分別相交，
∴k＜0，∴S_△AOB=

1

2

[12+（-9k-

4

k

）]≥

1

2

[12+2

-9k• -4 k

]=12，
當且僅當-9k=-

4

k

，即k=-

2

3

時取等號，即S_△AOB有最小值12．
因此所求直線l的方程為2x+3y-12=0．

點評：本題考查直線的一般式方程，考查用待定系數法設出直線的方程，根據已知的條件建立等式求參數，本題在判斷面積的最小值時由于出現了積國定值的形式，故采用了基本不等式求最小值時參數的取值，注意總結這一規律．