Question

設二次函數f（x）=-x²+ax+a，方程f（x）-x=0的兩根x₁和x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）試比較f（0）•f（1）-f（0）與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）利用二次函數根的分布的知識進行轉化，得到參數a的方程組或不等式組，求解方程或解不等式．
（2）求出f（0）•f（1）-f（0）的關于參數a的表達式，然后利用（1）中解出的a的取值范圍，求出f（0）•f（1）-f（0）的取值范圍，與比較．
解法二：基本與解一同，在對第二問大小的比較上，求出用了作差法，（1）中求出的是值域，用函數值的最大值與之比較．
解法三：第一小題中用的是根系關系轉化為關于參數a的不等式，然后解不等式，第二題中通過根與系數的關系構造不等式，利用基本不等式求解．
解答：解：法1：（Ⅰ）令g（x）=f（x）-x=x²+（a-1）x+a，
則由題意可得．
故所求實數a的取值范圍是．
（II）f（0）•f（1）-f（0）=2a²，令h（a）=2a²．
∵當a＞0時，h（a）單調增加，
∴當時，=
即．
法2：（I）同解法1．
（II）∵f（0）f（1）-f（0）=2a²，由（I）知，
∴．又，于是，
即，故．
法3：（I）方程f（x）-x=0?x²+（a-1）x+a=0，由韋達定理得x₁+x₂=1-a，x₁x₂=a，于是．
故所求實數a的取值范圍是．
（II）依題意可設g（x）=（x-x₁）（x-x₂），則由0＜x₁＜x₂＜1，
得f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）=[x₁（1-x₁）][x₂（1-x₂）]，故．
點評：本小題主要考查二次函數、二次方程的基本性質及二次不等式的解法，考查推理和運算能力．