Question

已知函數f(x)=2cos2(x-

π

6

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（2）求函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）通過二倍角公式與兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，化簡為一個角的一個三角函數的形式，利用周期公式求函數f（x）的最小正周期，利用正弦函數的對稱軸方程求出函數的圖象的對稱軸方程；
（2）通過x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，利用函數的單調性求出函數在[-

π

12

，

π

2

]上的值域，即可．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(x-

π

6

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)-1
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin(2x-

π

2

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)…（5分）
∴周期 T=

2π

2

=π．由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，得 x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）
∴函數圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）…（7分）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
又∵f（x）=sin(2x-

π

6

)在區間[-

π

12

，

π

3

]上單調遞增，
在區間[

π

3

，

π

2

]上單調遞減，∴當x=

π

3

時，f（x）取最大值1．
又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=1，∴當x=-

π

12

時，f（x）取最小值-

3

2

．
∴函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-

3

2

，1]．…（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，函數的周期的求法，以及函數的閉區間上的最值的應用，考查計算能力，高考常考題型．